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2cm | La
superficie total de este cuerpo sería 6 veces la de una de
sus caras, es decir 24 cm2. Esta cifra, excede la superficie apenas
superior a los 19 cm2 que ha demostrado ocupar una burbuja adoptando
la forma esférica. Para una pompa de jabón, este formato resulta ser energéticamente más conveniente que el cúbico. Intenta averiguar qué pasaría con ella si tuviese forma de pirámide, siempre manteniendo en su interior 8 cm3 de aire. |
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| Las celdas de una colmena son inicialmente cilindros. Pero, al apoyarse unos con otros, la presión los redistribuye y comienzan a adoptar la forma hexagonal. Esto sucede porque los hexágonos minimizan el perímetro de una sección y, por lo tanto, la cantidad de material necesario para hacerla. ¡Las abejas resultan ser insectos muy eficientes! | |
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| (Pincha aquí para ver el vídeo) |
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Los humanos también hemos llegado a darnos cuenta cómo amontonar de forma eficiente discos cilindros o esferas. Los círculos de la izquierda son obleas de Silicio (discos muy finos) dispuestas en un panel fotovoltáico para aprovechar al máximo la energía solar. De nuevo nos aparece el empaquetamiento hexagonal compacto. |
 Podemos
apilar discos en dos dimensiones pero también esferas en tres dimensiones.
El montón de naranjas de la figura es un jugoso ejemplo. Cada capa
de naranjas forma un empaquetamiento compacto como el de los discos de
silicio de arriba. Al apilar una nueva capa ponemos naranjas en el hueco
que forman tres naranjas de la capa inferior y de esta manera... acabamos
teniendo un empaquetamiento compacto hexagonal también a lo largo
de la dirección vertical. Prueba en casa. Si no tienes naranjas
unas cuantas balas de cañón también pueden servir
: )
¿Podrías decir cuantas naranjas estarían en contacto con una naranja del interior del montón? |
 hecHasta
ahora hemos visto ejemplos de orden hexagonal en grupos de objetos macroscópicos.
Pero el mundo microscópico también está lleno de ejemplos
interesantes. La imagen de la izquierda es una microfotografía de
un cable superconductor. El cable está formado por varias fibras
que a su vez contienen filamentos más finos (los puntos pequeños).
La escala indica 50 micras (1 micra es una milésima (1/1000) de
milímetro), o sea que un cable de 0.5mm de grueso abarcaría
prácticamente una pantalla completa(de 14 pulgadas). Las fibras
hexagonales, con radios de aproximadamente 50 micras se empaquetan de forma
muy similar a las celdas del panal de abejas. Al igual que en el caso del
panal cada una de esas fibras era un largo hilo cilíndrico en un
principio. Pero durante el proceso de fabricación del cable, en
el que se le fuerza a pasar por una serie de "embudos" que reducen su diámetro
y lo estiran, las fibras se comprimen unas contra otras dando lugar al
famoso orden hexagonal.
Pero además, si miramos con detalle dentro de cada fibra, veremos filamentos todavía más delgados, hos de niobio que de forma ESPONTÁNEA también se han ordenado formando un empaquetamiento compacto hexagonal !. 
Esa geometría es la que permite empaquetar un número dado de filamentos en el mínimo espacio. Si cogemos un montón de pajitas de refrescos (como en la foto), o lápices o palillos y los apretamos firmemente con la mano o con una goma elástica eso es precisamente lo que se forma: un empaquetamiento compacto hexagonal |
| Todos los ejemplos anteriores eran de sistemas artificiales;
hechos por el hombre (o por las abejas). Podría parecer que estas
estructuras son un signo de inteligencia (se podría decir quizá
que las abejas son también bastante "inteligentes", ya que son capaces
incluso de orientarse y comunicarse instrucciones de navegación!).
Pero pronto veremos ejemplos sorprendentes de empaquetamiento hexagonal en lugares insospechados que nos forzarán a rechazar esa atractiva y autoindulgente hipótesis.  Esta
imagen representa una sección de una parte sensible de la retina
llamada la fóvea. La retina tiene una pequeña mancha de color
amarillo, llamada mácula lútea; en su centro se encuentra
la fóvea central, la zona del ojo con mayor agudeza visual. La capa
sensorial de la fóvea se compone sólo de células con
forma de conos, mientras que en torno a ella también se encuentran
células con forma de bastones. La fóvea es una región
de la retina muy pequeña (de menos de un milímetro cuadrado)
y a la vez muy especializada. En ella la resolución de la imagen
es máxima. Consiste de elementos celulares fotoreceptores muy finos
(3 micras), los conos (de forma alargada pero que en esta imagen se ven
como puntos negros). El mosaico de conos foveales es muy condensado (200.000
conos por milímetro cuadrado en una persona adulta) lo cual da lugar
a una máxima resolución espacial, de contraste y de color.
Y ¿cómo se encuentran estas células?. Pues efectivamente,
la máxima resolución se deriva del hecho de que estas células
cubren el espacio de forma óptima adoptando un empaquetamiento compacto
hexagonal.
En este caso nos encontramos nuestra ya conocida estructura hexagonal pero a nivel celular, formando tejidos complejos autoorganizados.
Para terminar esta sección, un bonito ejemplo de
sistemas naturales y artificiales con características comunes: Los
paneles usados en dispositivos artificiales de visión nocturna también
se fabrican con un empaquetamiento compacto hexagonal de microdetectores.
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Si la autoorganización de células te parece sorprendente
no te pierdas el siguiente caso.
Después de todo las células pueden quizá ordenarse siguiendo las instrucciones preestablecidas y codificadas en el ADN, ¿no?. No parece gran cosa ¿cierto?. Pero ¿y si te dijera que ciertas reacciones químicas, mantenidas lejos de su equilibrio termodinámico, pueden dar lugar a sistemas heterogéneos con empaquetamiento hexagonal?. En principio eso sería tan sorprendente como echar tinta en un vaso de agua y llegar a obtener un líquido moteado!. Y sin embargo, algo muy parecido es lo que sucede en el caso de la figura de la izquierda. La reacción entre los iones clorito y yoduro en presencia de ácido malónico (reacción CIMA, para abreviar) es reversible, es decir puede tener lugar en una dirección o en la contraria. Cuando esta reacción se deja evolucionar lejos del equilibrio, por ejemplo en un reactor alimentado en continuo, y gracias a procesos espontáneos de difusión molecular, dicha reacción da lugar a zonas ricas en yoduro (de color azul en la figura) y zonas pobres en yoduro (de color amarillo) que se ORDENAN ESPONTÁNEAMENTE formando nuestro familiar empaquetamiento compacto hexagonal. Y estas curiosas reacciones químicas nos guardan también otras sorpresas. Por ejemplo, aunque la estructura hexagonal es la más estable de las dos, pequeñas variaciones en la concentración inicial de reactivos en la misma reacción CIMA  ,
en el mismo reactor puede dar lugar a estructuras radicalmente diferentes,
como la estructura rayada de la derecha. Es un bonito ejemplo del "efecto
mariposa" característico de sistemas caóticos, en este caso
en reacciones químicas.
Por cierto, ¿no te resultan terriblemente familiares estas formas ?. Lo cierto es que en la Naturaleza podemos encontrar diseños semejantes aquí y allá. A continuación te presento algunas fotos con ejemplos en este sentido, pero probablemente puedes encontrar muchos más. (Mueve el ratón encima de cada una para averiguar de qué imágenes se trata).      
Probablemente esto es algo más que pura casualidad. ¿No
te parece?.
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| Y ahora nos introduciremos... en el mundo de los átomos.
Pues sí, porque ahí también encontraremos empaquetamiento compacto hexagonal. De hecho es un ejemplo clásico. Si consideramos los átomos como simples esferas no nos sorprenderá que cuando se aglomeren (por ejemplo en muchos metales a temperatura ambiente o en ciertos gases a temperaturas muy bajas) lo hagan como se indica en la figura. No sólo los átomos neutros se empaquetan de esta forma. Los iones (átomos con carga eléctrica) también lo hacen, siempre y cuando sus cargas queden neutralizadas de forma efectiva por otros iones de carga opuesta y tamaño adecuado para situarse en algunos de los huecos intersticiales de la estructura (en las cavidades de forma triangular que quedan entre esferas). 
Y ¿cómo sabemos que los átomos se ordenan así?.
Los átomos son tan pequeños que no se pueden ver con microscopios
(aunque últimamente los Microscopios Electrónicos de Alta
Resolución se están acercando bastante). Pero los científicos
han desarrollado métodos para "ver" cómo se ordenan los átomos
y las moléculas en un cristal iluminándolos con rayos-X y
midiendo los rayos reflejados por el cristal en diferentes direcciones
del espacio. Esta técnica, conocida como cristalografía de
rayos-X, equivale a lo que podríamos llamar "visión de rayos-X"
y nos permite averiguar que, efectivamente, en muchos elementos, los átomos
se ordenan tal y como se indica en la figura, pero en las tres direcciones
del espacio. Es decir, de forma similar al montón ordenado de naranjas
del ejemplo de la sección 3. |
| Después de todos estos ejemplos
podría parecer que el empaquetamiento hexagonal está en todas
partes ( o casi ). Pero no es así; para que se produzca necesitamos
compactar grupos de objetos homogéneos similares entre sí,
bien sean átomos, células o naranjas. No encontraremos esta
simetría en estrellas o galaxias, que se encuentran tan alejadas
unas de otras. Pero ciertamente en nuestro densamente poblado mundo podremos
encontrar esta forma recurrente en muchos lugares diferentes y en diversas
escalas.
Y como el nuestro es un mundo complejo, las cosas no siempre serán tan bien definidas como en los ejemplos que hemos visto anteriormente. Encontraremos excepciones, complicaciones y variabilidad, que son tan características de nuestra Naturaleza. He aquí algunos ejemplos:
A veces encontraremos perfecta simetría hexagonal
que no es el resultado de empaquetamientos compactos.
Algo parecido ocurre en el caso del grafito, una forma de carbono que se usa en forma de polvo en las minas de los lápices. 
El grafito tiene simetría hexagonal que se deriva de la forma característica
en que cada átomo de carbono comparte electrones mediante enlaces
químicos con tres vecinos cercanos (Véase la historia Es
esto una molécula?).
A veces podremos encontrar empaquetamientos compactos que no dan
lugar a simetría hexagonal perfecta.
Y ello se debe a que los sistemas reales a menudo no son tan ideales como las bolas en una mesa de billar. Para conseguir empaquetamiento hexagonal necesitamos objetos isotrópicos, todos del mismo tamaño. Si se da variabilidad de tamaños pasan cosas curiosas. Como por ejemplo en el baño de espuma de la figura. Ahí nos encontramos con burbujas de tamaño medio rodeadas por otras seis del mismo tamaño. Pero también podemos ver una burbuja más pequeña rodeada de cinco vecinas más grandes. Una burbuja de tamaño superior a sus vecinas se vería rodeada evidentemente por un número mayor de ellas.    
Las otras fotos que acompañan a la de las burbujas de jabón
constituyen ejemplos de sistemas naturales y artificiales con estructuras
complejas, similares a las de la espuma. Las dos fotos del centro son vistas
diferentes de un material plástico que nos resulta muy familiar:
la espuma de poliestireno expandido (styropor, el plástico blanco
y ligerísimo que se usa para
embalar). Este material se fabrica empapando bolas de poliestireno
con un disolvente de bajo punto de ebullición (pentano por ej.)
y calentándolas después rápidamente para provocar
la evaporación repentina del disolvente y la expansión de
las esferas de polímero unas contra otras, disminuyendo su densidad.
Si todas las esferas expandidas fuesen del mismo tamaño entonces
cabría esperar un empaquetamiento perfecto. Puesto que en realidad
se da una cierta dispersión de tamaños nos encontramos con
una situación muy similar a la de la espuma de jabón. Al
fin y al cabo ambos sistemas son espumas ¿no?.
Finalmente, la última imagen es una microfotografía del
corcho. De nuevo un material ligero, poco denso, con estructura de espuma,
pero en este caso natural. El corcho es tan ligero porque está lleno
de aire. Su estructura está formada por largos canales vacíos
que se extienden en la dirección perpendicular a la imagen. De nuevo
vemos que estos canales están densamente empaquetados pero sus tamaños
variables e irregularidades dan lugar a un orden muy imperfecto.
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Esta
figura con aspecto de piel de leopardo es en realidad una imagen de la
distribución de líneas de fuerza de un campo magnético
cuando empiezan a penetrar una muestra superconductora. La posición
de las líneas (vistas aquí como manchas rojizas) se puede
calcular de acuerdo a modelos preestablecidos y también se pueden
detectar experimentalmente mediante partículas magnéticas.
En ambos casos se demuestra que las líneas se empaquetan con simetría
aproximadamente hexagonal, tal y como se ve en la figura.
Este es un
primer plano de los altavoces de un ordenador. Al empaquetar agujeros tan
densamente como sea posible, los diseñadores de estas rejillas "alimentan
dos pájaros con una sola fruta": máxima superficie vacía
para evitar la absorción del sonido y mínima cantidad de
material plástico para fabricar la rejilla. ¿Se te ocurre algún
otro ejemplo de rejilla con estas características ?.
LA LUNA
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| Noche estrellada, Vicent Van Gogh |
