¡Los hexágonos están
en todas partes!.
Tanto si buscamos a nivel atómico, en células
vivas, dispositivos artificiales o colonias de abejas, podremos encontrar
un tipo característico de orden hexagonal. Lo llamamos empaquetamiento
compacto y es de hecho el más efectivo para meter el mayor número
de objetos en el mínimo espacio.
La Calzada de los Gigantes
Es una extensa formación volcánica
compuesta por unas 40.000 columnas de basalto que se formaron hace unos
60 millones de años.
Cada columna de basalto tiene
entre 30 y 60 centímetros de ancho, la mayoría de forma hexagonal,
aunque también hay muchas que tienen 4 o 5 lados y otras con mas de 10
lados. Algunas de las columnas más altas, llegan a alcanzar los 12
metros de altura.
Su particular forma de pavimento hexagonal fue
origen de una leyenda irlandesa, según la cual dos gigantes enemigos,
Finn en Irlanda y Bennandoner en Escocia, se lanzaban
rocas continuamente el uno al otro. Tanta roca arrojada formó un camino
de piedras sobre el mar, que fue aprovechado por el gigante escocés para
alcanzar Irlanda y atacar a Finn. Advirtiendo la llegada de
Bennandoner, la esposa de Finn disfrazó a su marido de bebé. Cuando el
gigante escocés vio a tan enorme criatura, pensó que si el bebé era tan
grande, su padre y enemigo debía ser inmenso, y abandonó atemorizado
Irlanda. En su camino de vuelta, fue pisando fuertemente las rocas para
que se hundieran en el mar y Finn no pudiera perseguirle. Debido a ello,
únicamente se conserva el final de la calzada, en la costa irlandesa.
Geológicamente, la explicación no es tan épica, aunque no menos
violenta; la Calzada de los Gigantes es producto de una gran erupción
volcánica, acaecida hace unos 60 millones de años, al enfriarse el magma.
¿Por
qué las burbujas son redondas?
Por eficiencia.
En la naturaleza, todos los sistemas tienden a tener la menor energía
posible. ¿Cómo se logra esto en las burbujas? Teniendo la
menor superficie. Es decir, estando lo menos estirada posible. El volumen
de una burbuja está determinado por la cantidad de aire que tiene
en su interior. Si comparamos un cubo, una pirámide y una esfera
del mismo volumen, descubriremos que la superficie de la esfera siempre
es menor. ¿Cómo consiguen las burbujas tener la menor energía?
¡Con su forma esférica!
Roberto
Hojman Guiñerman, Físico
Presidente Comisión Chilena de Energía Nuclear
Director de Programa Centros de Investigación Avanzada FONDAP -
FONDECYT
Comisión Nacional de Investigación Científica y Tecnológica,
CONICYT
¿Quieres
saber más?
En
la naturaleza, todos los sistemas tienden a tener la mínima energía
posible. ¿Y cómo lo hace una burbuja?, tratando de estar lo
menos estirada que pueda, es decir, conservando la menor superficie que
le sea permitida.
Pensemos en un elástico. Cuanto más se estira, sus moléculas
toman mayor distancia acrecentando su energía, la que podemos liberar
si lo soltamos.
Mientras más grande es la superficie de una pompa de jabón,
o sea, tanto más alejadas se encuentran sus moléculas, mayor
es la energía que adquiere. Cuando reventamos la burbuja, liberamos
esa energía y muchas gotitas saltan lejos.
¡Pero la cantidad de aire que tiene dentro es fija! O sea, el volumen
de la burbuja está determinado por la porción de aire atrapado
en su interior.
¿Podríamos fabricar burbujas de otras formas?
Una de las primeras personas en investigar las superficies jabonosas fue
el físico belga Joseph A. F. Plateau (1801-1883), quien formuló
el problema que lleva su nombre, consistente en determinar la superficie
del área mínima limitada en el espacio por un contorno cerrado.
Supongamos que hay 8 cm3 de aire atrapado dentro de una burbuja. Si ésta
fuera cúbica, tendría 2 cm de arista. Como sabemos, los cubos
tienen 6 caras y la superficie de cada una de ellas, en este caso, es de
4 cm2.
|
2cm
|
La
superficie total de este cuerpo sería 6 veces la de una de
sus caras, es decir 24 cm2. Esta cifra, excede la superficie apenas
superior a los 19 cm2 que ha demostrado ocupar una burbuja adoptando
la forma esférica.
Para una pompa de jabón, este formato resulta ser energéticamente
más conveniente que el cúbico. Intenta averiguar qué
pasaría con ella si tuviese forma de pirámide, siempre
manteniendo en su interior 8 cm3 de aire. |
Usando
técnicas más sofisticadas, se puede demostrar que la
mejor burbuja, desde el punto de vista de minimizar la energía
almacenada en su superficie, es la esférica. Por lo tanto,
no podríamos fabricar una que no tuviese esta forma, ya que
no sería eficiente ni estable.
¿Qué
saben las abejas de geometría?
Ya los romanos
se preguntaban por qué las abejas construyen sus colmenas utilizando
compartimientos hexagonales, pero debieron pasar siglos, ¡hasta
1999! para que la ciencia entregara una respuesta definitiva: la forma
hexagonal es la manera más eficiente de subdividir el plano, utilizando
el menor perímetro posible.
Las
celdas de una colmena son inicialmente cilindros. Pero, al apoyarse unos
con otros, la presión los redistribuye y comienzan a adoptar la forma
hexagonal. Esto sucede porque los hexágonos minimizan el perímetro
de una sección y, por lo tanto, la cantidad de material necesario
para hacerla. ¡Las abejas resultan ser insectos muy eficientes! |
|
|
Raúl
Gouet Bañares, Ingeniero Matemático
Doctor en Matemática, Universidad de Paris, Francia
Profesor Asociado Departamento de Ingeniería Matemática
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Chile
¿Quieren
saber más?
En Roma se
preguntaban por qué las abejas construían sus colmenas utilizando
compartimentos hexagonales. En Grecia, el matemático Papus de Alejandría
(284-305), también se cuestionaba lo mismo... sin embargo, sólo
siglos después se encontraría respuesta a este dilema.
Las abejas, al guardar la miel, necesitan hacerlo en celdillas individuales.
Para aprovechar el espacio al máximo, las distribuyen de modo que
formen un mosaico sin huecos ni salientes, lo que pueden lograr únicamente
con triángulos, cuadrados o hexágonos. ¿Por qué
eligieron entonces estos últimos, si son más difíciles
de construir?
La solución pasa por un problema isoperimétrico, que en
griego significa "igual perímetro". Papus ya había
demostrado que, entre todos los polígonos regulares de similar
periferia, encierran más área aquellos que poseen un mayor
número de lados. Un círculo, entonces, es la figura que
encierra el espacio más grande en un contorno determinado, pues
su número de lados es infinito.
Inicialmente, las celdas de una colmena son cilindros, pero al apoyarse
unas con otras, la presión las redistribuye hasta adoptar la forma
hexagonal, que representa la manera más efectiva de subdividir
el plano, utilizando el menor perímetro posible. Los hexágonos
minimizan el “borde” de una sección y, así también,
la cantidad de material necesario para hacerla. Por eso las abejas construyen
sus celdillas de esta forma, ya que, gastando la misma cantidad de cera,
consiguen mayor superficie para guardar su miel. ¡Qué eficientes
resultaron ser estos insectos!
Podemos encontrar casos similares en varias otras situaciones. Por ejemplo,
¿has visto lo que sucede cuando se amontonan pompas de jabón?
Una burbuja es perfectamente esférica cuando está aislada,
pero fíjate en el aspecto que adquieren cuando se pegan unas a
otras.
La creación
del hombre, en el intento de imitar la perfección de la naturaleza,
también ha puesto su mirada en la eficaz forma hexagonal. El arquitecto
Antonio Gaudí, se inspiró en el modo en que las abejas edifican
sus panales, de arriba hacia abajo, para la construcción de los
arcos catenarios que podemos encontrar en varios de sus edificios. Por
ejemplo, en una de sus obras, el Palacio Güell, tenemos que su cúpula
central parece flotar, dando la sensación de estar colgada, mientras
su superficie está cubierta con hexágonos regulares a semejanza
de un panal.
Pero aún hay más ejemplos:
|
Los humanos también hemos llegado a
darnos cuenta cómo amontonar de forma eficiente discos cilindros
o esferas. Los círculos de la izquierda son obleas de Silicio (discos
muy finos) dispuestas en un panel fotovoltáico para aprovechar al
máximo la energía solar. De nuevo nos aparece el empaquetamiento
hexagonal compacto. |
Podemos
apilar discos en dos dimensiones pero también esferas en tres dimensiones.
El montón de naranjas de la figura es un jugoso ejemplo. Cada capa
de naranjas forma un empaquetamiento compacto como el de los discos de
silicio de arriba. Al apilar una nueva capa ponemos naranjas en el hueco
que forman tres naranjas de la capa inferior y de esta manera... acabamos
teniendo un empaquetamiento compacto hexagonal también a lo largo
de la dirección vertical. Prueba en casa. Si no tienes naranjas
unas cuantas balas de cañón también pueden servir
: )
¿Podrías decir cuantas naranjas estarían en contacto
con una naranja del interior del montón? |
hecHasta
ahora hemos visto ejemplos de orden hexagonal en grupos de objetos macroscópicos.
Pero el mundo microscópico también está lleno de ejemplos
interesantes. La imagen de la izquierda es una microfotografía de
un cable superconductor. El cable está formado por varias fibras
que a su vez contienen filamentos más finos (los puntos pequeños).
La escala indica 50 micras (1 micra es una milésima (1/1000) de
milímetro), o sea que un cable de 0.5mm de grueso abarcaría
prácticamente una pantalla completa(de 14 pulgadas). Las fibras
hexagonales, con radios de aproximadamente 50 micras se empaquetan de forma
muy similar a las celdas del panal de abejas. Al igual que en el caso del
panal cada una de esas fibras era un largo hilo cilíndrico en un
principio. Pero durante el proceso de fabricación del cable, en
el que se le fuerza a pasar por una serie de "embudos" que reducen su diámetro
y lo estiran, las fibras se comprimen unas contra otras dando lugar al
famoso orden hexagonal.
Pero además, si miramos con detalle dentro de cada
fibra, veremos filamentos todavía más delgados, hos de
niobio que de forma ESPONTÁNEA también se han ordenado formando
un empaquetamiento compacto hexagonal !.
Esa geometría es la que permite empaquetar un número
dado de filamentos en el mínimo espacio. Si cogemos un montón
de pajitas de refrescos (como en la foto), o lápices o palillos
y los apretamos firmemente con la mano o con una goma elástica eso
es precisamente lo que se forma: un empaquetamiento compacto hexagonal |
Todos los ejemplos anteriores eran de sistemas artificiales;
hechos por el hombre (o por las abejas). Podría parecer que estas
estructuras son un signo de inteligencia (se podría decir quizá
que las abejas son también bastante "inteligentes", ya que son capaces
incluso de orientarse y comunicarse instrucciones de navegación!).
Pero pronto veremos ejemplos sorprendentes de empaquetamiento hexagonal
en lugares insospechados que nos forzarán a rechazar esa atractiva
y autoindulgente hipótesis.
Esta
imagen representa una sección de una parte sensible de la retina
llamada la fóvea. La retina tiene una pequeña mancha de color
amarillo, llamada mácula lútea; en su centro se encuentra
la fóvea central, la zona del ojo con mayor agudeza visual. La capa
sensorial de la fóvea se compone sólo de células con
forma de conos, mientras que en torno a ella también se encuentran
células con forma de bastones. La fóvea es una región
de la retina muy pequeña (de menos de un milímetro cuadrado)
y a la vez muy especializada. En ella la resolución de la imagen
es máxima. Consiste de elementos celulares fotoreceptores muy finos
(3 micras), los conos (de forma alargada pero que en esta imagen se ven
como puntos negros). El mosaico de conos foveales es muy condensado (200.000
conos por milímetro cuadrado en una persona adulta) lo cual da lugar
a una máxima resolución espacial, de contraste y de color.
Y ¿cómo se encuentran estas células?. Pues efectivamente,
la máxima resolución se deriva del hecho de que estas células
cubren el espacio de forma óptima adoptando un empaquetamiento compacto
hexagonal.
En este caso nos encontramos nuestra ya conocida estructura
hexagonal pero a nivel celular, formando tejidos complejos autoorganizados.
Para terminar esta sección, un bonito ejemplo de
sistemas naturales y artificiales con características comunes: Los
paneles usados en dispositivos artificiales de visión nocturna también
se fabrican con un empaquetamiento compacto hexagonal de microdetectores.
|
Si la autoorganización de células te parece sorprendente
no te pierdas el siguiente caso.
Después de todo las células pueden quizá
ordenarse siguiendo las instrucciones preestablecidas y codificadas en
el ADN, ¿no?. No parece gran cosa ¿cierto?.
Pero ¿y si te dijera que ciertas reacciones químicas,
mantenidas lejos de su equilibrio termodinámico, pueden dar lugar
a sistemas heterogéneos con empaquetamiento hexagonal?. En principio
eso sería tan sorprendente como echar tinta en un vaso de agua y
llegar a obtener un líquido moteado!. Y sin embargo, algo muy parecido
es lo que sucede en el caso de la figura de la izquierda.
La reacción entre los iones clorito y yoduro en
presencia de ácido malónico (reacción CIMA, para abreviar)
es reversible, es decir puede tener lugar en una dirección o en
la contraria. Cuando esta reacción se deja evolucionar lejos del
equilibrio, por ejemplo en un reactor alimentado en continuo, y gracias
a procesos espontáneos de difusión molecular, dicha reacción
da lugar a zonas ricas en yoduro (de color azul en la figura) y zonas pobres
en yoduro (de color amarillo) que se ORDENAN ESPONTÁNEAMENTE formando
nuestro familiar empaquetamiento compacto hexagonal.
Y estas curiosas reacciones químicas nos guardan
también otras sorpresas. Por ejemplo, aunque la estructura hexagonal
es la más estable de las dos, pequeñas variaciones en la
concentración inicial de reactivos en la misma reacción CIMA ,
en el mismo reactor puede dar lugar a estructuras radicalmente diferentes,
como la estructura rayada de la derecha. Es un bonito ejemplo del "efecto
mariposa" característico de sistemas caóticos, en este caso
en reacciones químicas.
Por cierto, ¿no te resultan terriblemente familiares estas formas
?. Lo cierto es que en la Naturaleza podemos encontrar diseños semejantes
aquí y allá. A continuación te presento algunas fotos
con ejemplos en este sentido, pero probablemente puedes encontrar muchos
más. (Mueve el ratón encima de cada una para averiguar de
qué imágenes se trata).
Probablemente esto es algo más que pura casualidad. ¿No
te parece?.
|
Y ahora nos introduciremos... en el mundo de los átomos.
Pues sí, porque ahí también encontraremos
empaquetamiento compacto hexagonal. De hecho es un ejemplo clásico.
Si consideramos los átomos como simples esferas
no nos sorprenderá que cuando se aglomeren (por ejemplo en muchos
metales a temperatura ambiente o en ciertos gases a temperaturas muy bajas)
lo hagan como se indica en la figura. No sólo los átomos
neutros se empaquetan de esta forma. Los iones (átomos con carga
eléctrica) también lo hacen, siempre y cuando sus cargas
queden neutralizadas de forma efectiva por otros iones de carga opuesta
y tamaño adecuado para situarse en algunos de los huecos intersticiales
de la estructura (en las cavidades de forma triangular que quedan entre
esferas).
Y ¿cómo sabemos que los átomos se ordenan así?.
Los átomos son tan pequeños que no se pueden ver con microscopios
(aunque últimamente los Microscopios Electrónicos de Alta
Resolución se están acercando bastante). Pero los científicos
han desarrollado métodos para "ver" cómo se ordenan los átomos
y las moléculas en un cristal iluminándolos con rayos-X y
midiendo los rayos reflejados por el cristal en diferentes direcciones
del espacio. Esta técnica, conocida como cristalografía de
rayos-X, equivale a lo que podríamos llamar "visión de rayos-X"
y nos permite averiguar que, efectivamente, en muchos elementos, los átomos
se ordenan tal y como se indica en la figura, pero en las tres direcciones
del espacio. Es decir, de forma similar al montón ordenado de naranjas
del ejemplo de la sección 3. |
Después de todos estos ejemplos
podría parecer que el empaquetamiento hexagonal está en todas
partes ( o casi ). Pero no es así; para que se produzca necesitamos
compactar grupos de objetos homogéneos similares entre sí,
bien sean átomos, células o naranjas. No encontraremos esta
simetría en estrellas o galaxias, que se encuentran tan alejadas
unas de otras. Pero ciertamente en nuestro densamente poblado mundo podremos
encontrar esta forma recurrente en muchos lugares diferentes y en diversas
escalas.
Y como el nuestro es un mundo complejo, las cosas no siempre
serán tan bien definidas como en los ejemplos que hemos visto anteriormente.
Encontraremos excepciones, complicaciones y variabilidad, que son tan características
de nuestra Naturaleza. He aquí algunos ejemplos:
A veces encontraremos perfecta simetría hexagonal
que no es el resultado de empaquetamientos compactos.
Por ejemplo, los cristales de hielo en copos de nieve
siempre son hexagonales y esta simetría se puede relacionar con
la estructura atómica y molecular (Véase la historia acerca
de Cristales de hielo en copos de nieve). Pero
esta simetría es el resultado de la geometría impuesta por
los enlaces químicos en la red de hielo. Son los átomos que
forman el cristal y sus "preferencias" de enlace los que determinan el
orden hexagonal en este caso.
Algo parecido ocurre en el caso del grafito, una forma de carbono
que se usa en forma de polvo en las minas de los lápices.
El grafito tiene simetría hexagonal que se deriva de la forma característica
en que cada átomo de carbono comparte electrones mediante enlaces
químicos con tres vecinos cercanos (Véase la historia Es
esto una molécula?).
A veces podremos encontrar empaquetamientos compactos que no dan
lugar a simetría hexagonal perfecta.
Y ello se debe a que los sistemas reales a menudo no son
tan ideales como las bolas en una mesa de billar. Para conseguir empaquetamiento
hexagonal necesitamos objetos isotrópicos, todos del mismo tamaño.
Si se da variabilidad de tamaños pasan cosas curiosas. Como por
ejemplo en el baño de espuma de la figura. Ahí nos encontramos
con burbujas de tamaño medio rodeadas por otras seis del mismo tamaño.
Pero también podemos ver una burbuja más pequeña rodeada
de cinco vecinas más grandes. Una burbuja de tamaño superior
a sus vecinas se vería rodeada evidentemente por un número
mayor de ellas.
Las otras fotos que acompañan a la de las burbujas de jabón
constituyen ejemplos de sistemas naturales y artificiales con estructuras
complejas, similares a las de la espuma. Las dos fotos del centro son vistas
diferentes de un material plástico que nos resulta muy familiar:
la espuma de poliestireno expandido (styropor, el plástico blanco
y ligerísimo que se usa para
embalar). Este material se fabrica empapando bolas de poliestireno
con un disolvente de bajo punto de ebullición (pentano por ej.)
y calentándolas después rápidamente para provocar
la evaporación repentina del disolvente y la expansión de
las esferas de polímero unas contra otras, disminuyendo su densidad.
Si todas las esferas expandidas fuesen del mismo tamaño entonces
cabría esperar un empaquetamiento perfecto. Puesto que en realidad
se da una cierta dispersión de tamaños nos encontramos con
una situación muy similar a la de la espuma de jabón. Al
fin y al cabo ambos sistemas son espumas ¿no?.
Finalmente, la última imagen es una microfotografía del
corcho. De nuevo un material ligero, poco denso, con estructura de espuma,
pero en este caso natural. El corcho es tan ligero porque está lleno
de aire. Su estructura está formada por largos canales vacíos
que se extienden en la dirección perpendicular a la imagen. De nuevo
vemos que estos canales están densamente empaquetados pero sus tamaños
variables e irregularidades dan lugar a un orden muy imperfecto.
|
Bueno... pues parece que se nos han acabado los ejemplos de sistemas
con empaquetamiento compacto hexagonal. ¿O quizá no?.
Pues no.
Ya para acabar, como epílogo, te muestro a continuación
unos pocos ejemplos más...
Esta
figura con aspecto de piel de leopardo es en realidad una imagen de la
distribución de líneas de fuerza de un campo magnético
cuando empiezan a penetrar una muestra superconductora. La posición
de las líneas (vistas aquí como manchas rojizas) se puede
calcular de acuerdo a modelos preestablecidos y también se pueden
detectar experimentalmente mediante partículas magnéticas.
En ambos casos se demuestra que las líneas se empaquetan con simetría
aproximadamente hexagonal, tal y como se ve en la figura.
Este es un
primer plano de los altavoces de un ordenador. Al empaquetar agujeros tan
densamente como sea posible, los diseñadores de estas rejillas "alimentan
dos pájaros con una sola fruta": máxima superficie vacía
para evitar la absorción del sonido y mínima cantidad de
material plástico para fabricar la rejilla. ¿Se te ocurre algún
otro ejemplo de rejilla con estas características ?.