Naturaleza sabia...

 ¡Los hexágonos están en todas partes!. 

Tanto si buscamos a nivel atómico, en células vivas, dispositivos artificiales o colonias de abejas, podremos encontrar un tipo característico de orden hexagonal. Lo llamamos empaquetamiento compacto y es de hecho el más efectivo para meter el mayor número de objetos en el mínimo espacio.

 La Calzada de los Gigantes

Es una extensa formación volcánica compuesta por unas 40.000 columnas de basalto que se formaron hace unos 60 millones de años. 

 Cada columna de basalto tiene entre 30 y 60 centímetros de ancho, la mayoría de forma hexagonal, aunque también hay muchas que tienen 4 o 5 lados y otras con mas de 10 lados. Algunas de las columnas más altas, llegan a alcanzar los 12 metros de altura.

Su particular forma de pavimento hexagonal fue origen de una leyenda irlandesa, según la cual dos gigantes enemigos, Finn en Irlanda y Bennandoner en Escocia, se lanzaban rocas continuamente el uno al otro. Tanta roca arrojada formó un camino de piedras sobre el mar, que fue aprovechado por el gigante escocés para alcanzar Irlanda y atacar a Finn. Advirtiendo la llegada de Bennandoner, la esposa de Finn disfrazó a su marido de bebé. Cuando el gigante escocés vio a tan enorme criatura, pensó que si el bebé era tan grande, su padre y enemigo debía ser inmenso, y abandonó atemorizado Irlanda. En su camino de vuelta, fue pisando fuertemente las rocas para que se hundieran en el mar y Finn no pudiera perseguirle. Debido a ello, únicamente se conserva el final de la calzada, en la costa irlandesa.

Geológicamente, la explicación no es tan épica, aunque no menos violenta; la Calzada de los Gigantes es producto de una gran erupción volcánica, acaecida hace unos 60 millones de años, al enfriarse el magma.

¿Por qué las burbujas son redondas?

Por eficiencia. En la naturaleza, todos los sistemas tienden a tener la menor energía posible. ¿Cómo se logra esto en las burbujas? Teniendo la menor superficie. Es decir, estando lo menos estirada posible. El volumen de una burbuja está determinado por la cantidad de aire que tiene en su interior. Si comparamos un cubo, una pirámide y una esfera del mismo volumen, descubriremos que la superficie de la esfera siempre es menor. ¿Cómo consiguen las burbujas tener la menor energía? ¡Con su forma esférica!

Roberto Hojman Guiñerman, Físico
Presidente Comisión Chilena de Energía Nuclear
Director de Programa Centros de Investigación Avanzada FONDAP - FONDECYT
Comisión Nacional de Investigación Científica y Tecnológica, CONICYT

¿Quieres saber más? En la naturaleza, todos los sistemas tienden a tener la mínima energía posible. ¿Y cómo lo hace una burbuja?, tratando de estar lo menos estirada que pueda, es decir, conservando la menor superficie que le sea permitida.
Pensemos en un elástico. Cuanto más se estira, sus moléculas toman mayor distancia acrecentando su energía, la que podemos liberar si lo soltamos.
Mientras más grande es la superficie de una pompa de jabón, o sea, tanto más alejadas se encuentran sus moléculas, mayor es la energía que adquiere. Cuando reventamos la burbuja, liberamos esa energía y muchas gotitas saltan lejos.
¡Pero la cantidad de aire que tiene dentro es fija! O sea, el volumen de la burbuja está determinado por la porción de aire atrapado en su interior.
¿Podríamos fabricar burbujas de otras formas?
Una de las primeras personas en investigar las superficies jabonosas fue el físico belga Joseph A. F. Plateau (1801-1883), quien formuló el problema que lleva su nombre, consistente en determinar la superficie del área mínima limitada en el espacio por un contorno cerrado.
Supongamos que hay 8 cm3 de aire atrapado dentro de una burbuja. Si ésta fuera cúbica, tendría 2 cm de arista. Como sabemos, los cubos tienen 6 caras y la superficie de cada una de ellas, en este caso, es de 4 cm2.

2cm

La superficie total de este cuerpo sería 6 veces la de una de sus caras, es decir 24 cm2. Esta cifra, excede la superficie apenas superior a los 19 cm2 que ha demostrado ocupar una burbuja adoptando la forma esférica. Para una pompa de jabón, este formato resulta ser energéticamente más conveniente que el cúbico. Intenta averiguar qué pasaría con ella si tuviese forma de pirámide, siempre manteniendo en su interior 8 cm3 de aire.

Usando técnicas más sofisticadas, se puede demostrar que la mejor burbuja, desde el punto de vista de minimizar la energía almacenada en su superficie, es la esférica. Por lo tanto, no podríamos fabricar una que no tuviese esta forma, ya que no sería eficiente ni estable.

¿Qué saben las abejas de geometría?

Ya los romanos se preguntaban por qué las abejas construyen sus colmenas utilizando compartimientos hexagonales, pero debieron pasar siglos, ¡hasta 1999! para que la ciencia entregara una respuesta definitiva: la forma hexagonal es la manera más eficiente de subdividir el plano, utilizando el menor perímetro posible. 

Las celdas de una colmena son inicialmente cilindros. Pero, al apoyarse unos con otros, la presión los redistribuye y comienzan a adoptar la forma hexagonal. Esto sucede porque los hexágonos minimizan el perímetro de una sección y, por lo tanto, la cantidad de material necesario para hacerla. ¡Las abejas resultan ser insectos muy eficientes!

 Raúl Gouet Bañares, Ingeniero Matemático
Doctor en Matemática, Universidad de Paris, Francia
Profesor Asociado Departamento de Ingeniería Matemática
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Chile

 ¿Quieren saber más?

En Roma se preguntaban por qué las abejas construían sus colmenas utilizando compartimentos hexagonales. En Grecia, el matemático Papus de Alejandría (284-305), también se cuestionaba lo mismo... sin embargo, sólo siglos después se encontraría respuesta a este dilema.
Las abejas, al guardar la miel, necesitan hacerlo en celdillas individuales. Para aprovechar el espacio al máximo, las distribuyen de modo que formen un mosaico sin huecos ni salientes, lo que pueden lograr únicamente con triángulos, cuadrados o hexágonos. ¿Por qué eligieron entonces estos últimos, si son más difíciles de construir?
La solución pasa por un problema isoperimétrico, que en griego significa "igual perímetro". Papus ya había demostrado que, entre todos los polígonos regulares de similar periferia, encierran más área aquellos que poseen un mayor número de lados. Un círculo, entonces, es la figura que encierra el espacio más grande en un contorno determinado, pues su número de lados es infinito.
Inicialmente, las celdas de una colmena son cilindros, pero al apoyarse unas con otras, la presión las redistribuye hasta adoptar la forma hexagonal, que representa la manera más efectiva de subdividir el plano, utilizando el menor perímetro posible. Los hexágonos minimizan el “borde” de una sección y, así también, la cantidad de material necesario para hacerla. Por eso las abejas construyen sus celdillas de esta forma, ya que, gastando la misma cantidad de cera, consiguen mayor superficie para guardar su miel. ¡Qué eficientes resultaron ser estos insectos!
Podemos encontrar casos similares en varias otras situaciones. Por ejemplo, ¿has visto lo que sucede cuando se amontonan pompas de jabón? Una burbuja es perfectamente esférica cuando está aislada, pero fíjate en el aspecto que adquieren cuando se pegan unas a otras.

La creación del hombre, en el intento de imitar la perfección de la naturaleza, también ha puesto su mirada en la eficaz forma hexagonal. El arquitecto Antonio Gaudí, se inspiró en el modo en que las abejas edifican sus panales, de arriba hacia abajo, para la construcción de los arcos catenarios que podemos encontrar en varios de sus edificios. Por ejemplo, en una de sus obras, el Palacio Güell, tenemos que su cúpula central parece flotar, dando la sensación de estar colgada, mientras su superficie está cubierta con hexágonos regulares a semejanza de un panal. 

(Pincha aquí para ver el vídeo)

 Pero aún hay más ejemplos:

 

Los humanos también hemos llegado a darnos cuenta cómo amontonar de forma eficiente discos cilindros o esferas. Los círculos de la izquierda son obleas de Silicio (discos muy finos) dispuestas en un panel fotovoltáico para aprovechar al máximo la energía solar. De nuevo nos aparece el empaquetamiento hexagonal compacto.

 

Podemos apilar discos en dos dimensiones pero también esferas en tres dimensiones. El montón de naranjas de la figura es un jugoso ejemplo. Cada capa de naranjas forma un empaquetamiento compacto como el de los discos de silicio de arriba. Al apilar una nueva capa ponemos naranjas en el hueco que forman tres naranjas de la capa inferior y de esta manera... acabamos teniendo un empaquetamiento compacto hexagonal también a lo largo de la dirección vertical. Prueba en casa. Si no tienes naranjas unas cuantas balas de cañón también pueden servir  : )  ¿Podrías decir cuantas naranjas estarían en contacto con una naranja del interior del montón?

 

hecHasta ahora hemos visto ejemplos de orden hexagonal en grupos de objetos macroscópicos. Pero el mundo microscópico también está lleno de ejemplos interesantes. La imagen de la izquierda es una microfotografía de un cable superconductor. El cable está formado por varias fibras que a su vez contienen filamentos más finos (los puntos pequeños). La escala indica 50 micras (1 micra es una milésima (1/1000) de milímetro), o sea que un cable de 0.5mm de grueso abarcaría prácticamente una pantalla completa(de 14 pulgadas). Las fibras hexagonales, con radios de aproximadamente 50 micras se empaquetan de forma muy similar a las celdas del panal de abejas. Al igual que en el caso del panal cada una de esas fibras era un largo hilo cilíndrico en un principio. Pero durante el proceso de fabricación del cable, en el que se le fuerza a pasar por una serie de "embudos" que reducen su diámetro y lo estiran, las fibras se comprimen unas contra otras dando lugar al famoso orden hexagonal.     Pero además, si miramos con detalle dentro de cada fibra, veremos filamentos todavía más delgados, hos de niobio que de forma ESPONTÁNEA también se han ordenado formando un empaquetamiento compacto hexagonal !.  Esa geometría es la que permite empaquetar un número dado de filamentos en el mínimo espacio. Si cogemos un montón de pajitas de refrescos (como en la foto), o lápices o palillos y los apretamos firmemente con la mano o con una goma elástica eso es precisamente lo que se forma: un empaquetamiento compacto hexagonal

 

Todos los ejemplos anteriores eran de sistemas artificiales; hechos por el hombre (o por las abejas). Podría parecer que estas estructuras son un signo de inteligencia (se podría decir quizá que las abejas son también bastante "inteligentes", ya que son capaces incluso de orientarse y comunicarse instrucciones de navegación!).  Pero pronto veremos ejemplos sorprendentes de empaquetamiento hexagonal en lugares insospechados que nos forzarán a rechazar esa atractiva y autoindulgente hipótesis.  Esta imagen representa una sección de una parte sensible de la retina llamada la fóvea. La retina tiene una pequeña mancha de color amarillo, llamada mácula lútea; en su centro se encuentra la fóvea central, la zona del ojo con mayor agudeza visual. La capa sensorial de la fóvea se compone sólo de células con forma de conos, mientras que en torno a ella también se encuentran células con forma de bastones. La fóvea es una región de la retina muy pequeña (de menos de un milímetro cuadrado) y a la vez muy especializada. En ella la resolución de la imagen es máxima. Consiste de elementos celulares fotoreceptores muy finos (3 micras), los conos (de forma alargada pero que en esta imagen se ven como puntos negros). El mosaico de conos foveales es muy condensado (200.000 conos por milímetro cuadrado en una persona adulta) lo cual da lugar a una máxima resolución espacial, de contraste y de color. Y ¿cómo se encuentran estas células?. Pues efectivamente, la máxima resolución se deriva del hecho de que estas células cubren el espacio de forma óptima adoptando un empaquetamiento compacto hexagonal.     En este caso nos encontramos nuestra ya conocida estructura hexagonal pero a nivel celular, formando tejidos complejos autoorganizados.     Para terminar esta sección, un bonito ejemplo de sistemas naturales y artificiales con características comunes: Los paneles usados en dispositivos artificiales de visión nocturna también se fabrican con un empaquetamiento compacto hexagonal de microdetectores.

Si la autoorganización de células te parece sorprendente no te pierdas el siguiente caso.     Después de todo las células pueden quizá ordenarse siguiendo las instrucciones preestablecidas y codificadas en el ADN, ¿no?. No parece gran cosa ¿cierto?.     Pero ¿y si te dijera que ciertas reacciones químicas, mantenidas lejos de su equilibrio termodinámico, pueden dar lugar a sistemas heterogéneos con empaquetamiento hexagonal?. En principio eso sería tan sorprendente como echar tinta en un vaso de agua y llegar a obtener un líquido moteado!. Y sin embargo, algo muy parecido es lo que sucede en el caso de la figura de la izquierda.     La reacción entre los iones clorito y yoduro en presencia de ácido malónico (reacción CIMA, para abreviar) es reversible, es decir puede tener lugar en una dirección o en la contraria. Cuando esta reacción se deja evolucionar lejos del equilibrio, por ejemplo en un reactor alimentado en continuo, y gracias a procesos espontáneos de difusión molecular, dicha reacción da lugar a zonas ricas en yoduro (de color azul en la figura) y zonas pobres en yoduro (de color amarillo) que se ORDENAN ESPONTÁNEAMENTE formando nuestro familiar empaquetamiento compacto hexagonal.     Y estas curiosas reacciones químicas nos guardan también otras sorpresas. Por ejemplo, aunque la estructura hexagonal es la más estable de las dos, pequeñas variaciones en la concentración inicial de reactivos en la misma reacción CIMA , en el mismo reactor puede dar lugar a estructuras radicalmente diferentes, como la estructura rayada de la derecha. Es un bonito ejemplo del "efecto mariposa" característico de sistemas caóticos, en este caso en reacciones químicas.  Por cierto, ¿no te resultan terriblemente familiares estas formas ?. Lo cierto es que en la Naturaleza podemos encontrar diseños semejantes aquí y allá. A continuación te presento algunas fotos con ejemplos en este sentido, pero probablemente puedes encontrar muchos más. (Mueve el ratón encima de cada una para averiguar de qué imágenes se trata).  Probablemente esto es algo más que pura casualidad. ¿No te parece?.

Y ahora nos introduciremos... en el mundo de los átomos.    Pues sí, porque ahí también encontraremos empaquetamiento compacto hexagonal. De hecho es un ejemplo clásico.     Si consideramos los átomos como simples esferas no nos sorprenderá que cuando se aglomeren (por ejemplo en muchos metales a temperatura ambiente o en ciertos gases a temperaturas muy bajas) lo hagan como se indica en la figura. No sólo los átomos neutros se empaquetan de esta forma. Los iones (átomos con carga eléctrica) también lo hacen, siempre y cuando sus cargas queden neutralizadas de forma efectiva por otros iones de carga opuesta y tamaño adecuado para situarse en algunos de los huecos intersticiales de la estructura (en las cavidades de forma triangular que quedan entre esferas).     Y ¿cómo sabemos que los átomos se ordenan así?. Los átomos son tan pequeños que no se pueden ver con microscopios (aunque últimamente los Microscopios Electrónicos de Alta Resolución se están acercando bastante). Pero los científicos han desarrollado métodos para "ver" cómo se ordenan los átomos y las moléculas en un cristal iluminándolos con rayos-X y midiendo los rayos reflejados por el cristal en diferentes direcciones del espacio. Esta técnica, conocida como cristalografía de rayos-X, equivale a lo que podríamos llamar "visión de rayos-X" y nos permite averiguar que, efectivamente, en muchos elementos, los átomos se ordenan tal y como se indica en la figura, pero en las tres direcciones del espacio. Es decir, de forma similar al montón ordenado de naranjas del ejemplo de la sección 3.

Después de todos estos ejemplos podría parecer que el empaquetamiento hexagonal está en todas partes ( o casi ). Pero no es así; para que se produzca necesitamos compactar grupos de objetos homogéneos similares entre sí, bien sean átomos, células o naranjas. No encontraremos esta simetría en estrellas o galaxias, que se encuentran tan alejadas unas de otras. Pero ciertamente en nuestro densamente poblado mundo podremos encontrar esta forma recurrente en muchos lugares diferentes y en diversas escalas.     Y como el nuestro es un mundo complejo, las cosas no siempre serán tan bien definidas como en los ejemplos que hemos visto anteriormente. Encontraremos excepciones, complicaciones y variabilidad, que son tan características de nuestra Naturaleza. He aquí algunos ejemplos:     A veces encontraremos perfecta simetría hexagonal que no es el resultado de empaquetamientos compactos.      Por ejemplo, los cristales de hielo en copos de nieve siempre son hexagonales y esta simetría se puede relacionar con la estructura atómica y molecular (Véase la historia acerca de Cristales de hielo en copos de nieve). Pero esta simetría es el resultado de la geometría impuesta por los enlaces químicos en la red de hielo. Son los átomos que forman el cristal y sus "preferencias" de enlace los que determinan el orden hexagonal en este caso.   Algo parecido ocurre en el caso del grafito, una forma de carbono que se usa en forma de polvo en las minas de los lápices. El grafito tiene simetría hexagonal que se deriva de la forma característica en que cada átomo de carbono comparte electrones mediante enlaces químicos con tres vecinos cercanos (Véase la historia Es esto una molécula?).      A veces podremos encontrar empaquetamientos compactos que no dan lugar a simetría hexagonal perfecta.    Y ello se debe a que los sistemas reales a menudo no son tan ideales como las bolas en una mesa de billar. Para conseguir empaquetamiento hexagonal necesitamos objetos isotrópicos, todos del mismo tamaño. Si se da variabilidad de tamaños pasan cosas curiosas. Como por ejemplo en el baño de espuma de la figura. Ahí nos encontramos con burbujas de tamaño medio rodeadas por otras seis del mismo tamaño. Pero también podemos ver una burbuja más pequeña rodeada de cinco vecinas más grandes. Una burbuja de tamaño superior a sus vecinas se vería rodeada evidentemente por un número mayor de ellas.   Las otras fotos que acompañan a la de las burbujas de jabón constituyen ejemplos de sistemas naturales y artificiales con estructuras complejas, similares a las de la espuma. Las dos fotos del centro son vistas diferentes de un material plástico que nos resulta muy familiar: la espuma de poliestireno expandido (styropor, el plástico blanco y ligerísimo que se usa para embalar). Este material se fabrica empapando bolas de poliestireno con un disolvente de bajo punto de ebullición (pentano por ej.) y calentándolas después rápidamente para provocar la evaporación repentina del disolvente y la expansión de las esferas de polímero unas contra otras, disminuyendo su densidad. Si todas las esferas expandidas fuesen del mismo tamaño entonces cabría esperar un empaquetamiento perfecto. Puesto que en realidad se da una cierta dispersión de tamaños nos encontramos con una situación muy similar a la de la espuma de jabón. Al fin y al cabo ambos sistemas son espumas ¿no?.  Finalmente, la última imagen es una microfotografía del corcho. De nuevo un material ligero, poco denso, con estructura de espuma, pero en este caso natural. El corcho es tan ligero porque está lleno de aire. Su estructura está formada por largos canales vacíos que se extienden en la dirección perpendicular a la imagen. De nuevo vemos que estos canales están densamente empaquetados pero sus tamaños variables e irregularidades dan lugar a un orden muy imperfecto.

Bueno... pues parece que se nos han acabado los ejemplos de sistemas con empaquetamiento compacto hexagonal. ¿O quizá no?.
Pues no.
Ya para acabar, como epílogo, te muestro a continuación unos pocos ejemplos más...

  

Esta figura con aspecto de piel de leopardo es en realidad una imagen de la distribución de líneas de fuerza de un campo magnético cuando empiezan a penetrar una muestra superconductora. La posición de las líneas (vistas aquí como manchas rojizas) se puede calcular de acuerdo a modelos preestablecidos y también se pueden detectar experimentalmente mediante partículas magnéticas. En ambos casos se demuestra que las líneas se empaquetan con simetría aproximadamente hexagonal, tal y como se ve en la figura.
 
 

Este es un primer plano de los altavoces de un ordenador. Al empaquetar agujeros tan densamente como sea posible, los diseñadores de estas rejillas "alimentan dos pájaros con una sola fruta": máxima superficie vacía para evitar la absorción del sonido y mínima cantidad de material plástico para fabricar la rejilla. ¿Se te ocurre algún otro ejemplo de rejilla con estas características ?.